Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej metalu .

(112)

OPIS TEORETYCZNY

Większość ciał zarówno stałych, ciekłych jak i gazowych wraz ze wzrostem temperatury i przy stałym ciśnieniu (naprężeniu) zwiększa swoje rozmiary (wyjątkiem jest np. woda w zakresie temperatur 0oC do 4 oC)
Na tej stronie zajmę się jednak głównie rozszerzalnością cieplną ciał stałych nie związaną ze zmianą stanu skupienia.
Wyobraźmy sobie model ciała krystalicznego, w którym atomy ułożone są regularnie w przestrzeni dzięki wzajemnym oddziaływaniom pochodzenia elektrycznego. Siły oddziaływania między atomami są zbliżone do sił występujących między niewielkimi kuleczkami połączonymi sprężynkami, jak na rysunku poniżej:





Przy zbliżaniu kulki odpychają się, przy oddalaniu przyciągają się. Atomy drgają. Gdy temperatura rośnie, rośnie również energia kinetyczna tych atomów, a więc i amplituda tych drgań.
Analogia nie jest jednak pełna.
W rzeczywistości oddziaływanie między cząsteczkami jest nieco bardziej skomplikowane. Siły jakie działają pomiędzy cząsteczkami w sieci krystalicznej nie są siłami sprężystymi (nie są proporcjonalne do wychylenia z położenia równowagi x) i zależą od przesunięcia x względem położenia równowagi zgodnie z zależnością:
Fx = -Kx + bx2, gdzie K jest współczynnikiem siły quasi-sprężystej, a b współczynnikiem anharmoniczności drgań.
Wyrażenie bx2 opisuje odchylenie drgań od harmoniczności. Obrazowo można przedstawić to w oparciu o wykres przedstawiający oddziaływanie dwóch sąsiednich atomów. Jeżeli początek układu współrzędnych związany jest z jednym z rozpatrywanych atomów, to siła działająca na drugi przedstawia się tak, jak na poniższym wykresie:





  Z wykresu widać, że dla pewnej odległości r=r0 siła staje się równa zeru - wzajemne oddziaływania przyciągające i odpychające znoszą się. Odpowiada to stanowi równowagi trwałej (minimalna energia potencjalna ).
Gdy atomy zbliżają się, decydującą rolę odgrywają siły odpychające i energia potencjalna U szybko rośnie.
Gdy atomy oddalają się, decydującą rolę odgrywają, nieco słabsze, siły przyciągające
Pamiętając o tym, że F= -dU/dr, możemy zaobserwować, jak zmienia się siła, w zależności od energii potencjalnej oddziaływania między atomami.
Jak widać wykres energii potencjalnej jest asymetryczny. Z tej asymetryczności wynika, że gdy rośnie energia drgań (od E1 do E2) czyli, gdy rośnie temperatura (od T1 do T2), rośnie również średnia odległość między atomami (od r1 do r2).
- r0, r1 i r2 to średnia odległość między atomami w coraz wyższych temperaturach.
Warto zwrócić uwagę, że gdyby krzywa energii potencjalnej była symetryczna i wychylenie atomów w prawo i w lewo byłoby takie samo niezależnie od wielkości amplitudy drgań, to średnia odległość między atomami byłaby stała  (równa r0), niezależnie od temperatury. Nie byłoby więc rozszerzalności termicznej, która, jak z tego wynika, jest właśnie konsekwencją tej niesymetryczności.

Można wykazać, że średnie przemieszczenie wyraża zależność:

Widać więc, że ze wzrostem temperatury rośnie średnia odległość między cząsteczkami sieci krystalicznej i ciało rozszerza się.

Współczynnik rozszerzalności liniowej jest związany ze współczynnikiem anharmoniczności wzorem:


Niektóre ciała krystaliczne mogą w pewnych zakresach temperatur zmniejszać swe rozmiary wraz ze wzrostem temperatury. Jest tak, gdy drgania poprzeczne cząsteczek są większe niż drgania podłużne, co prowadzi do ujemnego współczynnika rozszerzalności w pewnych kierunkach. Tych przypadków nie będę tu rozpatrywał.

Zajmę się teraz zjawiskiem tzw rozszerzalności liniowej ciał stałych, czyli zmianą rozmiarów ciała w jednym, wybranym kierunku.
Wyobraźmy sobie pręt, który w pewnej temperaturze to ma długość lo, a w temperaturze t ma długość l, jak na poniższym rysunku:


Doświadczenie uczy, że gdy różnica temperatur jest nie większa niż kilkadziesiąt stopni, przyrost długości l= l- lo   jest proporcjonalny do przyrostu temperatur t= t- to
Współczynnik proporcjonalności oznacza się zazwyczaj literą i nazywa współczynnikem rozszerzalności liniowej.

Jest to średnia wartość tego współczynnika w danym zakresie temperatur.
Współczynnik wyraża się w K-1. Średnie wartości jakie przyjmuje ten współczynnik, to na przykład:

Podany wyżej wzór jest jednocześnie "receptą" na wyznaczenie tego współczynnika. Wystarczy przekształcić go do postaci:

W miarę zmiany temperatury zmieniają się wszystkie wymiary ciała, zmienia się więc objętość ciała. Dlatego też wprowadza się również pojęcie współczynnika rozszerzalności objętościowej ciała, który oznacza się zazwyczaj literą .
Jeżeli wszystkie trzy wymiary zmieniają się jednakowo (mają ten sam współczynnik rozszerzalności liniowej) to objętość V ciała w temperaturze t można wyrazić przez jego objętość Vo w temperaturze to w następujący sposób:

Wykorzystałem tu fakt, że 2 oraz 3 są bardzo małe (patrz przykłady typowych wartości współczynników ) i jednomiany, w których one występują można pominąć jako niezmiernie małe.
Wówczas współczynnik rozszerzalności objętościowej ciała jest trzykrotnie większy od współczynnika rozszerzalności liniowej , czyli    = 3.
Wraz z temperaturą rośnie objętość (i maleje gęstość) nie tylko większości ciał stałych, ale i cieczy.
Wyjątek stanowi woda, która zachowuje się nietypowo w zakresie temperatur od 0oC do 4oC, jak przedstawia to poniższy wykres:

Jak wynika z wykresu, w tym przypadku nie można mówić o liniowości rozszerzalności objętościowej.

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczeniem jest wyznaczenie średniego współczynnika rozszerzalności liniowej kilku wybranych metali.

METODA POMIAROWA

Wspólczynnik rozszerzalności liniowej wyznaczamyw oparciu o zależność

Oznacza to, że należy wyznaczyć:
Do doświadczenia użyjemy cienkich (kilka mm) prętów metalowych o długości ok. 40cm. Ponieważ mierzone wydłużenie jest niewielkie, do pomiaru zmiany długości wykorzystamy przyrząd zwany dylatometrem,
który posiada bardzo precyzyjny miernik pozwalający mierzyć zmiany długości pręta z dokładnością 0,01mm (10-5m)
  1. 1-Badany pręt,
  2. 2-Płaszcz szklany,
  3. 3-Miernik wydłużenia,
  4. 4-Wlot pary,
  5. 5-Wylot pary i skroplonej wody.

Za początkową temperaturę pręta (to) będziemy przyjmować temperaturę otoczenia, gdyż przed pomiarem pręty od dłuższego czasu przebywają w pomieszczeniu i można przyjąć, że są w równowadze termodynamicznej z otaczającym je powietrzem).
Końcową temperaturą będzie za każdym razem temperatura wrzenia wody. Określimy ją z tablic, na podstawie pomiaru ciśnienia atmosferycznego. (Patrz opis do ćwiczenia Wyznaczanie temperatury wrzenia wody w zależności od ciśnienia)
Aby pręt uzyskał dokładnie temperaturę wrzącej wody, otoczony jest szklanym płaszczem, do wnętrza którego wpuszczana jest przez dłuższy czas para doprowadzona z kolby z gotującą się wodą.
Obserwując wskazówkę wskaźnika wydłużenia, należy zaobserwować jej położenie początkowe (w temperaturze to) i położenie końcowe- gdy wskazówka w ciągu 2-3 minut nie przesunie się dalej, mimo doprowadzania gorącej pary.

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Opracowanie wyników opisane jest w instrukcji do ćwiczenia
Jako niepewność pomiaru różnicy temperatur u( T) przyjąć należy dokładność termometru, z którego odczytano temperaturę początkową, gdyż temperatura końcowa odczytana z tabel jest wzięta z bardzo dużą dokładnością