Sprawdzanie podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego

OPIS TEORETYCZNY

Wymienione w tytule podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego to
druga zasada dynamiki , która stosuje się nie do ruchu postępowego punktu materialnego ,
lecz do ruchu obrotowego bryły sztywnej .
Do opisu ruchu bryły sztywnej trzeba wprowadzić zupełnie nowe pojęcia, ponieważ oprócz ruchu postępowego może ona dodatkowo obracać się wokół własnej osi, a więc w opisie tego ruchu rozmiary bryły, przestrzenny rozkład masy a także oś, względem której może się ona obracać odgrywają istotne znaczenie. I dlatego:

do określenia bezwładności bryły nie wystarczy podanie tylko jej masy, lecz należy zdefiniować tzw moment bezwładności I ,
określenie siły działającej na bryłę nie da nam wystarczającej informacji o oddziaływaniu na nią, trzeba bowiem znać działający moment siły M
każdy punkt obracającej się bryły ma inne przyspieszenie liniowe, zatem niezbędne staje się wprowadzenie pojęcia przyspieszenia kątowego , które jest wspólne dla całej bryły.

Gdy poznamy w.w. pojęcia, wówczas możemy sformułować drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego.
Równanie to opisuje tylko ruch obrotowy ciała. Do opisu ruchu postępowego bryły sztywnej stosuje się zwykłe równania dynamiki ruchu postępowego, a więc uwzględniające masę, działające siły i uzyskane przez ciało pod ich wpływem przyspieszenie liniowe, lecz odnoszące się tylko do jednego, konkretnego punktu ciała, a mianowicie do jego środka cieżkości.

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie słuszności podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego. Nie będzie to jednak sprawdzenie bezpośrednie, czyli przez pomiar wielkości momentów sił, momentów bezwładności czy przyspieszeń katowych, ale poprzez sprawdzenie wynikajacych z tego równania konsekwencji.

METODA POMIAROWA

Doświadczenie przeprowadzamy przy pomocu zestawu pomiarowego, którego schemat przedstawiony jest na rysunku:

W układzie tym naszą bryłą sztywną jest blok A ( na który nawinięta jest nić) wraz z umocowanym na wspólnej osi prętem P i umieszczonymi na tym pręcie dwiema kulami K. Kule te można przesuwać po pręcie, zmieniając w ten sposób moment bezwładności całej bryły. Na drugim końcu nici zawieszony jest odważnik Q, który opadając ruchem jednostajnie przyspieszonym (a = const) wprawia w ruch obrotowy, (także jednostajnie przyspieszony, bo

= const) całą bryłę.
W układzie tym łatwo dają wyznaczyć się:

masa m odważnika Q,
droga s przebywana przez odważnik,
czas ruchu t
odległość między kulami d.

Należy więc wykazać jakie zależności między wymienionymi wielkościami wynikają z zasad dynamiki i tak wyprowadzone zależności będziemy następnie sprawdzać. Na początek zbadamy zależność między czasem t opadania ciężarka (na jakimś stałym odcinku drogi s) a odległością d kul na pręcie.
W równaniu

moment bezwładności I jest sumą stałej wielkości I_o ( na nią składają się momenty bezwładności bloku A, pręta P i każdej z kul względem własnej osi) oraz momentu bezwładności obu kul względem osi całego układu. (Trzeba tu skorzystać m.in. z twierdzenia Steinera ). Czyli

m oznacza tutaj masę jednej kulki.

Ruch obrotowy układu wywołuje bezpośrednio siła naprężenia nici N, której moment, pomniejszony o pewien moment sił tarcia w osi bloku, nadaje układowi pewne przyspieszenie kątowe

( Uwaga: moment siły tarcia zależy tu bezpośrednio od promienia samej osi, a nie całego krążka jak błednie przyjęto w skrypcie "Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki").

Całą naszą wiedzę o układzie doświadczalnym możemy więc zawrzeć w następującym układzie równań:

Druga zasada dynamiki zastosowana do odważnika Q
Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego (patrz rysunek powyżej)
Moment bezwładności całego układu
Moment siły naprężenia nici pomniejszony o moment sił tarcia w osi bloku, wywołujący ruch obrotowy
Związek między przyspieszeniem kątowym a przyspieszeniem liniowym
Droga ciężarka Q w ruchu jednostajnie przyspieszonym, z prędkością początkową równą zero

Wykonując proste przekształcenia matematyczne wyznaczamy przyspieszenie a z równań 1 do 5
i porównujemy je z przyspieszeniem wyliczonym ze wzoru 6, otrzymując ostatecznie na czas wzór
:

a stąd

Ponieważ poza czasem i odległością między kulami przyjęliśmy pozostałe wielkości za stałe, otrzymamy równanie

Symbolami c i b oznaczyłem tutaj stałe odpowiednio

Jeśli sporządzimy więc wykres zależności t² od d², to powinniśmy otrzymać na wykresie linię prostą. Na otrzymaniu linii prostej na tym wykresie będzie więc polegało (zawarte w temacie ćwiczenia) sprawdzenie podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego.
Drugim sposobem sprawdzenia tego równania jest sporządzenie zależności między zmienną masą odważnika, a czasem opadania odważnika przy zachowaniu stałej odległości między kulkami i stałej drogi opadania. W tym wypadku z wzoru (*) otrzymamy

czyli zależność postaci:

gdzie stałe k i A wynosza:

I tu także rysując wykres 1/t² od m powinniśmy otrzymać prostą jako potwierdzenie tytułowego równania.
Na koniec, aby sprawdzić czy słuszne było nasze, przyjęte w punkcie 6, założenie, że ruch jest jednostajnie przyspieszony, zbadamy zależność t² od s. Także ta zależność powinna być liniowa.

WYKONANIE POMIARÓW

A. Badanie zależności t² od s: Wybieramy do pomiarów jeden z odważników i ustalamy stałą dla wszystkich pomiarów odległość między kulkami. Zmieniamy drogę s i mierzymy czas t. Wyniki umieszczamy w tabeli: TABELA 1
B. Badanie zależności 1/t² od m: Wybieramy do wszystkich pomiarów stały odcinek drogi i pozostawiamy stałą odległość między kulkami. Wybieramy odważniki o różnych masach m i mierzymy czas t. Wyniki umieszczamy w tabeli:
TABELA 2
C. Badanie zależności t² od d: Wybieramy do pomiarów jeden z odważników i ustalamy stałą dla wszystkich pomiarów drogę. Zmieniamy odległość między kulkami i mierzymy czas. Wyniki umieszczamy w tabeli:
TABELA 3

OPRACOWANIE WYNIKOW POMIARÓW

Rysujemy wykresy opisane w punktach A, B, C. Proste wyznaczamy stosując metodę regresji liniowej i obliczając odchylenia standardowe współczynników prostych S_a i S_b.