Rozważę rozchodzenie się fali podłużnej w ośrodku sprężystym na przykładzie długiego,
sprężystego pręta o powierzchni przekroju poprzecznego S i długości l.
Zgodnie z prawem Hook'a siła ta jest proporcjonalna
do odkształcenia ciała x=
l i dla opisywanego pręta można
zapisać ją jako
E oznacza tu moduł Younga materiału pręta.
Uderzając z pewną siłą F w lewą ściankę pręta wywołujemy przesunięcie pewnej warstwy pręta
o powierzchni S o pewien odcinek l.
Stosując II zasadę dynamiki i uwzględniając to,
że masa pręta powiązana jest z gęstością materiału związkiem
, możemy zapisać:
v oznacza w tym wzorze zmianę
prędkości potrąconych cząstek pręta pozostających początkowo w spoczynku, a następnie
przesuniętych na odległość l w czasie
t
Zestawiając te wzory
i uwzględniając to, że
otrzymujemy wzór na prędkość rozchodzenia się fali podłużnej w ciele stałym:
Identyczną postać wzoru otrzymujemy dla cieczy lub gazu, lecz w tych przypadkach
zamiast modułu Younga należy zastosować moduł sprężystości objętościowej K.
Przyjmując, że rozchodzenie się dżwięku w powietrzu jest procesem adiabatycznym
można łatwo wykazać (różniczkując równanie Poissona
p . V
= const i
porównując je z prawem Hook'a), że moduł sprężystości
( p oznacza tu ciśnienie )
Zatem prędkość w gazie możemy wyrazić jako
Z równania stanu gazu doskonałego otrzymujemy:
i dzieląc stronami dwa ostatnie równania:
zatem prędkość rozchodzenia się fali wynosi:
gdzie
to prędkość dźwięku w temperaturze
To = 273K (0oC)