Badanie drgań tłumionych cewki galwanometru lusterkowego.(215)

OPIS TEORETYCZNY

A. TEORIA RUCHU DRGAJĄCEGO

Ruch drgający jest zjawiskiem powszechnym w przyrodzie. Dotyczy zarówno drgań ciał makroskopowych, jak i drgań atomów i cząsteczek, czy drgań prądów w obwodach elektrycznych. Dlatego opis ruchu drgającego i zależności jakimi się rządzi są bardzo ważne. Zacznę od opisu najprostszego ruchu drgającego- tzw. ruchu harmonicznego nazywanego też ruchem drgającym prostym. Ruch taki występuje wtedy, gdy nie działają żadne czynniki tłumiące i w związku z tym amplituda drgań, a więc i ich energia, jest stała. Jest to wprawdzie przypadek idealny, ale jest wiele przykładów zjawisk, do opisu których może być z powodzeniem stosowany, i to z bardzo dobrym przybliżeniem.
Do opisu drgań mechanicznych, stosując II zasadę dynamiki Newtona,otrzymujemy różniczkowe równanie opisujące ruch harmoniczny. Zakładamy przy tym,że na ciało działają wyłącznie tzw. siły sprężyste opisane (prawem Hook'a), to znaczy takie, których wartość zależy od wielkości odkształcenia ciała, czyli wychylenia (x) drgającego ciała z położenia równowagi . Siła sprężysta jest zawsze przeciwnie skierowana do wychylenia ciała (stąd "-"w równaniu), więc drugą zasadę należy zapisać następująco:

Rozwiązaniem takiego równania jest funkcja:

Równanie to nieźle opisuje (przy małych oporach ośrodka i w niezbyt długim czasie) drgania ciężarka na sprężynie, wahadła, drgającego ciała na powierzchni wody itp.
Jednak dłuższa obserwacja każdego z tych ruchów prowadzi do wniosku, że równanie to tylko w przybliżeniu opisuje te ruchy, gdyż amplituda tych drgań stopniowo maleje, co prowadzi nieuchronnie do ustania ruchu. Sprawiają to różnego rodzaju oddziaływania, których nie uwzględnia różniczkowe równanie ruchu harmonicznego i dlatego jego rozwiązanie nie opisuje dokładnie tych drgań. Czynniki tłumiące drgania bywają różne np. siły lepkości cieczy, opór powietrza, pole magnetyczne działające na drgające ciała ferromagnetyczne, pola elektryczne działające na ciała naelektryzowane i wiele innych. Działanie tłumiące tych sił może być bardzo różne, ale zawsze zależy od prędkości drgającego ciała, najczęściej wprost proporcjonalnie.Równanie różniczkowe ruchu drgającego tłumionego, dla którego siła tłumiąca (F_b= -bv) jest wprost proporcjonalna do prędkości, ma postać:

b- oznacza tu współczynnik oporu ośrodka, a "-" , że jest to siła oporu, a więc skierowana przeciwnie do kierunku ruchu.
Często zamiast współczynnika oporu ośrodka, używa się współczynnika tłumienia ośrodka
=b/2m
Wtedy równanie to przyjmuje postać:

Rozwiązanie tego równania prowadzi do wzoru opisującego drgania tłumione:

.

W równaniu tym amplitudą jest wyrażenie:

gdyż opisuje maksymalne wychylenie drgającego ciała. Jak widać amplituda zależy od czasu, co bardzo dobrze widać na wykresie, na którym funkcja

stanowi obwiednię wykresu.

.

Drgania takie nazywamy drganiami gasnącymi. Rozwiązanie różniczkowego równania ruchu tłumionego prowadzi również do wyznaczenia wpływu wielkości tłumienia na parametry ruchu drgającego. Okazuje się, że w miarę wzrostu tłumienia, częstość kołowa drgaań maleje, czyli okres drgań wydłuża się. Opisuje to zależność:

We wzorze tym T- oznacza okres drgań tłumionych, a T_o- okres drgań swobodnych, czyli okres drgań tego samego układu, ale przy braku jakiegokolwiek tłumienia.
Ponieważ amplituda drgań tłumionych maleje wyładniczo, dla opisu szybkości gaśnięcia drgań wprowadza się pojęcie logarytmicznego dekrementu tłumienia (logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej), który jest związany z okresem i współczynnikiem tłumienia zależnością:

Z tej zależności, wyznaczając dekrement, łatwo można wyznaczyć współczynnik tłumienia.

B. OPIS ĆWICZENIA

Aby mieć możliwość, w miarę prosty sposób, zmiany wielkości tłumienia ruchu drgającego, wykorzystaliśmy jako układ drgający cewkę galwanometru lusterkowego. W tym wypadku stałe, stosunkowo niewielkie, tłumienie wywołują siły oporu powietrza, działające na drgającą ramkę i lusterko oraz, znacznie większe i dające się dokładnie regulować, siły oddziaływań elektrodynamicznych, wywołanych prądami indukcyjnymi wzbudzanymi w ramce z drutu poruszającej się w polu magnetycznym zewnętrznego magnesu.
Siła elektrodynamiczna działająca na ramkę w stałym polu magnetycznym B jest proporcjonalna do wielkości natężenia I prądu indukcyjnego (F = B ^.I ^.l- wzór Flaminga), zaś natężenie tego prądu zależy m.in. od wielkości oporu R włączonego w obwód (U = R^.I- prawo Ohma), tak więc włączając różne oporniki w obwód ramki możemy precyzyjnie regulować wielkość sił tłumiących drgania.
Technika przeprowadzenia doświadczenia jest następująca:
Przepuszczamy przez cewkę (ramkę) galwanometru prąd z zewnętrznego źródła. Cewka staje się minielektromagnesem i oddziaływując z zewnętrznym magnesem wychyla się o pewien kąt (można powiedzieć też, że na ramkę z prądem podziałała w polu magnetycznym siła elektrodynamiczna).
Aby dokładnie zrozumieć istotę tłumienia drgań tego wahadła, warto zastanowić się nad przemianami energii zachodzącymi w tym wahadle.
W pierwszej chwili, zanim uruchomimy wahadło, prąd płynący przez cewkę wytwarza pole magnetyczne, które obraca cewkę, skręcając przez to sprężysty drucik, na którym zawieszona jest cewka. W chwili gdy zwolnimy przycisk, odłączając cewkę od żródła prądu, zanika pole magnetyczne, siła sprężysta drucika obraca cewkę. W tej fazie ruchu następuje zamiana energii potencjalnej sił sprężystości zgromadzonej w drucie na energię kinetyczną cewki. Gdyby nie było sił tłumiących ruch, całkowita energia mechaniczna układu cewka-drut byłaby zachowana i cewka mogłaby drgać ruchem harmonicznym. Jednak ruch cewki w polu magnetycznym magnesu powoduje, że w cewce indukuje się, zgodnie z prawem indukcji Faradaya, SEM indukcji i zaczyna płynąć prąd indukcyjny, który zgodnie z regułą Lenza, hamuje ruch cewki. Cewka jest hamowana również przez opór powieterza. Ruch cewki staje się ruchem tłumionym. W rezultacie energia mechaniczna stopniowo zanika zamieniając się w energię cieplną ogrzewającą przewody cewki i otaczające ją powietrze.
Do drgającej cewki dołączone jest lusterko, dzięki czemu możemy wygodnie obserwować drgania cewki, śledząc ruch plamki światła odbitego od drgającego lusterka.

CEL ĆWICZENIA

W ćwiczeniu badamy wpływ wielkości tłumienia na szybkość zanikania drgań, zależność amplitudy w ruchu tłumionym od czasu i wpływ wielkości oporności w obwodzie na wielkość tłumienia. Wyznaczamy też podstawowe parametry ruchu tłumionego, takie jak współczynnik tłumienia, logarytmiczny dekrement tłumienia i zależność okresu drgań od współczynnika tłumienia.

CZYNNOŚCI POMIAROWE

Schemat elektryczny układu pomiarowego jest następujący:

Wyłącznik W₁ włącza prąd z zasilacza, służący do wychylenia ramki do położenia startowego (amplituda A₀).
Wyłącznik W₂ służy do całkowitego stłumienia galwanometru w celu ustawienia go w położeniu równowagi i wyregulowania położenia plamki świetlnej tak, aby wskazywała środek skali.
Oporniki R₁ do R₁₂ służą do ustawiania wielkości tłumienia obwodu.
Przebieg ćwiczenia i tabela podane są w instrukcji